3

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

 «Свияжская средняя общеобразовательная школа

Зеленодольского муниципального района Респуьлики Татарстан»

Исследовательская работа

Треугольник Паскаля.  

Сатрутдинова Аделия Маратовна, 7 класс

 Научный руководитель:

учитель математики и физики Вавилова Наталия Александровна.

пгт. Нижние Вязовые

Содержание

1.        I.      Введение
2.     II.      Блез Паскаль (1623-1662)
3.  III.      Треугольник Паскаля
4. Свойства треугольника Паскаля
5.    V.      Применение треугольника Паскаля
6. Другие арифметические треугольники
7. «Вычисление треугольника Паскаля в табличном редакторе Ехсеl». 
8. Выполнение компьютерных программ на тему « Треугольник Паскаля»
9. Заключение
10.    X.      Литература

 Введение

В настоящее время происходит интенсивное развитие ряда областей комбинаторного анализа, быстро растет число приложений этого раздела математики. Методы комбинаторики позволяют решать не только задачи, поставленные  ею самой, но и входят как обязательные элементы в аппарат решения многочисленных задач в самых различных областях математики.

Комбинаторика – необходимый инструмент для изучения основ теории вероятностей, - темы, которая уже входит в учебные программы школ. Поэтому ознакомление с элементами комбинаторики представляется мне весьма важным и актуальным

Данная тема «Треугольник Паскаля» является составной частью комбинаторики. В работе я рассматриваю способ построения треугольника Паскаля, его применение для решения разного рода комбинаторных задач и задач по теории вероятностей, показываю перенос метода построения этого треугольника для создания других числовых таблиц, провожу самостоятельное исследование «вычисление треугольника Паскаля в табличном редакторе Ехсеl».

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга французского математика Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», опубликованная в 1665г., уже после смерти автора.

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

 см. приложение 2

Блез Паскаль (1623-1662)

Всякий  вид деятельности, связанный с творчеством показывает незаменимость и уникальность каждого человека. А когда речь идет о гениях, то мы все должны благодарить судьбу за возможность пользоваться плодами их деятельности, за исходящий от них свет, освещающий пути развития человечества.

Блез Паскаль - великий человек, которому природа дала все, кроме физического здоровья. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления (паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Он является одним из создателей математического анализа, проективной геометрии, теории вероятностей, гидростатики (широко известен закон Паскаля, в соответствии с которым изменение давления в покоящейся жидкости передается в остальные ее точки без изменений), создателем механического счетного устройства - "Паскалева колеса" - как говорили современники. Паскаль продемонстрировал, что воздух обладает упругостью, и доказал, что он имеет вес, открыл, что показания барометра зависят от влажности и температуры воздуха и потому его можно использовать для предсказания погоды. Ему же принадлежит идея омнибусов - многоместных конных экипажей с фиксированными маршрутами - первого вида регулярного общедоступного городского транспорта. Уже в шестнадцатилетнем возрасте Паскаль сформулировал теорему о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение (теорема Паскаля). (Известно, что позже он получил из своей теоремы около 400 следствий.) Через несколько лет Блез Паскаль создал механическое вычислительное устройство - суммирующую машину, которая позволяла складывать числа в десятичной системе счисления. В этой машине цифры задавались путем соответствующих поворотов дисков (колесиков) с цифровыми делениями, а результат операции можно было прочитать в окошках - по одному на каждую цифру. Блез Паскаль и другой великий француз, Пьер Ферма, стали основателями теории вероятностей. Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является трактат об "арифметическом треугольнике", образованном биномиальными коэффициентами (треугольник Паскаля), который имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными и занимательными свойствами.

Треугольник Паскаля см. приложение 1,3

Заполним такую таблицу:

Её можно заполнить, используя шары и ящики. Вот первые найденные значения:

см. приложение 4

С одним ящиком:

0 шаров                                              С =1     

1шар                                                    С =1

С двумя ящиками:

0 шаров                                                С=1

1шар                                                С=2

2 шара:                                          С=1

А также её можно заполнить, используя кодировку, получим:

Ш Ш Ш Ш                       С=1

Ш Ш П П       П Ш Ш П              

Ш П Ш П       П Ш П Ш              С= 6

Ш П П Ш       П П Ш Ш

Ш П П П                                   Ш Ш Ш П

П Ш П П           С= 4                Ш Ш П Ш         С= 4

П П Ш П                                      Ш П Ш Ш

П П П Ш                                      П Ш Ш Ш

Кроме этого можно использовать формулу:см. приложение 5

С= 

Получаем таблицу.

С = 1, так как существует единственная ситуация, когда нет ящиков и шаров.

Для удобства преобразования перепишем эту таблицу в виде равнобедренного треугольника, сначала используя символику сочетаний, а затем их числовые значения.

Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел.

 см. приложение 6

Сумма чисел каждой строки полученного треугольника:

1 = 2⁰            2 = 2¹       4 = 2²     8 = 2³      16 = 2⁴     32 = 2⁵     64 = 2⁶                          

128 = 2⁷        256 = 2⁸    512 =  2⁹    1024 = 2¹⁰ 

В общем виде получаем:

С + C + C + ……….+ С = 2ⁿ

Этот треугольник  можно продолжит так далеко как это потребуется, поскольку любое некрайнее число внутри строки определяется суммой чисел, находящихся над ним.

Этот треугольник называется треугольником Паскаля.

Треугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Свойства треугольника Паскаля

 см. приложение7

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника  выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей. Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды, с сохранением формы треугольника, получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66…  Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 8 и 21 - числа Фибоначчи.

 см. приложение 8

В 1228 году выдающийся итальянский математик Леонардо из Пизы, более известный сейчас под именем Фибоначчи, написал свою знаменитую "Книгу об абаке". Одна из задач этой книги - задача о размножении кроликов - приводила к последовательности чисел 1,1,2,3,5,8,13,21..., в которой каждый член, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих членов. Эта последовательность носит название ряда Фибоначчи, члены ряда Фибоначчи называют числами Фибоначчи. Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь. Образуем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. Получим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5. Мы получили не что иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи.

Биномиальные коэффициенты

Числа, стоящие по горизонтальным строкам, являются биномиальными коэффициентами. Строка с номером n состоит из коэффициентов разложения бинома (1+n)n. Покажем это при помощи операции Паскаля. Но сначала представим, как биномиальные коэффициенты определяются.

Возьмем бином 1+х и начнем возводить его в степени 0, 1, 2, 3 и т. д., располагая получающиеся при этом многочлены по возрастающим степеням буквы х. Мы получим

1.(1+х)⁰=1,
2.(1+х)¹=1+х,
3. (1 +х)²=(1 +х)(1 +х)= 1 +2х+х²,

4.(1+х)³=1+Зх+Зх²+х^З
и т. д.

Вообще, для любого целого неотрицательного числа n
(1+x)ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_px^p,        где a₀,a₁,...,a_p

Последнее соотношение можно переписать в виде, а из соотношений 1-4 получаем

 см. приложение 9

Образовался треугольник Паскаля, каждый элемент которого

Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его не только с комбинаторикой и теорией вероятностей, но и с другими областями математики и ее приложений.

Числа Каталана

Если, спускаясь по центральному столбцу, из каждого числа вычитать соседнее справа (или слева!), то возникает последовательность чисел Каталана:  1, 2, 5, 14, 42, 132, 429.

Применение треугольника Паскаля

Старинные задачи о случайном

Еще в глубокой древности появились различные азартные игры. В Древней Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрагалы, когда игроки бросали кости животных. Также пользовались популярностью игральные кости - кубики с нанесенными на гранях точками. Позднее азартные игры распространились в средневековой Европе.

Эти игры подарили математикам массу интересных задач, которые потом легли в основу теории вероятностей. Очень популярны были задачи о дележе ставки. Ведь, как правило, игра велась на деньги: игроки делали ставки, а победитель забирал всю сумму. Однако игра иногда прерывалась раньше финала, и возникал вопрос: как разделить деньги.

Многие математики занимались решением этой проблемы, но до середины XVII века так и не нашли его. В 1654 году между французскими математиками Блезом Паскалем, уже хорошо известным нам, и Пьером Ферма возникла переписка по поводу ряда комбинаторных задач, в том числе и задач о дележе ставки. Оба ученых, хотя и несколько разными путями, пришли к верному решению, деля ставку пропорционально вероятности выигрыша всей суммы при продолжении игры.

Следует отметить, что до них никто из математиков вероятность событий не вычислял, в их переписке теория вероятностей и комбинаторика впервые были научно обоснованы, и поэтому Паскаль и Ферма считаются основателями теории вероятностей.

Рассмотрим одну из задач Ферма, решенную Паскалем с помощью своей числовой таблицы.

Пусть до выигрыша всей встречи игроку.  А недостает двух партий, а игроку В - трех партий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?

Паскаль складывает количество партий, недостающих игрокам, и берет строку таблицы, в которой количество членов равно найденной сумме, т.е. 5. Тогда доля игрока А будет равна сумме трех (по количеству партий, недостающих игроку В) первых членов пятой строки, а доля игрока В - сумме оставшихся двух чисел. Выпишем эту строку: 1,4,6,4, 1. Доля игрока А равна 1+4+6=11, а доля В -1+4=5.

Задача:см. приложение10

Сколькими способами можно попасть из точки Ф в точку С, если можно двигаться лишь вправо и вверх по отрезкам сети?

В                                                                                                         С

А                                                                                                         D

Каждый такой путь состоит из 8 горизонтальных и 4 вертикальных единичных отрезков. Значит, попасть из А в С можно  С = = 495 способами.

Другие арифметические треугольники

Треугольник Люка

 см. приложение11

Данный треугольник носит название треугольника Люка, так как суммы чисел, стоящих на восходящих диагоналях, дают последовательность чисел Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18.

Треугольник Фибоначчи

 см. приложение12

Треугольник Каталана

Рассмотрим треугольник Каталана, который является вариацией треугольника Паскаля. Последовательность чисел 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429,... в первом столбце состоит из чисел Каталана .

 см. приложение13

Треугольник Трибоначчи

Он назван так потому, что суммы элементов, стоящих на восходящих диагоналях, образуют последовательность чисел Трибоначчи: 1,1,2,4,7,13,24,44,...

 см. приложение14

«Вычисление треугольника Паскаля в табличном редакторе Ехсеl».

Заполняем в табличном редакторе Ехсеl нумерацию строк и столбцов

см. приложение15,16 

Задаём значения и вводим формулу для вычисления строк в электронной таблице.

см. приложение17 

Эту таблицу можно продолжить до той строки, которая требуется при вычислениях.

Выполнение компьютерных программ на тему « Треугольник Паскаля»

Заключение

Популярность чисел, составляющих треугольник Паскаля, не удивительна: они возникают в самых естественных задачах алгебры, комбинаторики, теории вероятностей, математического анализа, теории чисел. А также известны случаи в шахматах, когда знание вариантов маршрута короля позволило мастерам спасать совершенно проигрышные позиции, так как количество вариантов маршрутов короля для достижения каждого поля подчиняется закономерности треугольника Паскаля.

 см. приложение 18

"Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

Мартин Гарднер