Тема исследования: Способы умножения чисел

Цель работы:  Изучить способы умножения, для производства которых, достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.

Задачи работы:

1.Познакомиться со старинными способами умножения, такими как: «Ревность, или решётчатое умножение», «Маленький замок», «Русский крестьянский способ»;

2.Рассмотреть метод умножения «круги».   Расширить круг примеров, решенных указанным способом.

3.Изучить японский способ умножения чисел. Проверить его для любых  чисел.

Объектная область: Математика

Объект исследования:    Умножение чисел

Предмет исследования: Способы умножения чисел

Гипотеза:

Я предполагаю, что существуют способы умножения чисел, для которых достаточно наличие  карандаша и бумаги.

Проблема:   Научиться выполнять быстро умножение натуральных чисел - знание способов умножения. Но в школьном курсе, кроме умножения «столбиком», мы не изучаем других способов, а многие забывают даже таблицу умножения. Конечно, можно сказать: А на что калькулятор? Но если его нет или он не работает или забыли таблицу умножения. Знание других способов не помешает. Тем более для них нужен всего лишь лист бумаги и карандаш.

Методы исследования: В работе использовались методы:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

- исследовательский метод при определении способов умножения;

- практический метод при решении примеров

Актуальность

Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора. Мне стало интересно, а знают ли учащиеся нашей школы нетрадиционные способы умножения чисел. Я провела  анкетирование, задав один лишь вопрос: Знаете ли вы, какие- нибудь способы умножения, кроме тех, что изучают в школе?  Из диаграммыя увидела, что учащиеся не знают других способов умножения.

Ожидаемые результаты Моя работа  имеет конкретную цель, она будет полезна и необходима всем категориям учащимся, и взрослым тоже. Для этого достаточно внимательно посмотреть мою презентацию, в ней изложены по порядку и доступно нетрадиционные способы умножения.

  Структура моей работы следующая:

- в первом разделе представлены старинные способы умножения;

- во втором разделе приведено исследование метода умножения «круги» и метода умножения по-японски.

- в заключение работы изложены основные выводы и результаты выполненного исследования;

- список литературы.

                                                 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ РАБОТЫ

Раздел 1.  Старинные способы умножения.

Умножение на пальцах: Этот способ демонстрирует таблицу умножения.

Мысленно присваиваем каждому пальцу номер, как на рисунке.Надо умножить 9 х 6. Загибаем 6-ой палец, тогда число десятков –это до этого пальца (их 5), число единиц – после этого пальца (их 4), значит 9Х6 = 54.

Пример : 9 х 8. Все аналогично.

 Если 8 умножаем на числа, то это происходит следующим образом: до 5-ти прибавляем 1 и еще прибавляем 1,2,3,4 после него.

Например, 8х1. Загибаем 1-ый палец и еще 1 за ним, получаем, что десятков нет (перед), единиц 8 (после), значит 8х1=8.

Так же 8х2=16.

По этой же схеме 8 умножаем на 3, на 4 и на 5.

 Далее я рассмотрела умножение на 6,7,8,9.  Для этого находим разность: число минус 5, а далее по этой же схеме и плюс к ответу 40.

Например, 8х6 (6 - 5=1, загибаем 1-ый палец + еще один, получим 8 и плюс к ответу 40, всего 48.

Аналогично 8х8 = 64.

Меня заинтересовал вопрос: А можно ли этот способ применить к умножению,  например двузначных чисел. Я провела эксперимент, умножив

 64 х 65. Вот, что у меня получилось: я так же пронумеровала пальцы от 61 до 65 на обеих руках. Сначала умножаем десятки сами на себя 60х60, прибавить 9 пальцев, связанных дугой умножаем на количество десятков 9х60 и прибавить произведение пальцев, связанных дугой на отдельных руках 4х5, получим 3600+540+20 = 4160

Аналогично  72 х 74. В дальнейшем, я хочу попробовать умножение на пальцах для чисел с различными десятками, как 45х63 и т.д.

«Перекрестное умножение»

Далее, я рассмотрела способ «перекрестного умножения» для многозначных чисел (действие с двузначными числами) на примере 42х34 (схема видна на слайде.

Провела эксперимент для других чисел, например  43 х 67 и 72 х 64.

За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения. Итальянский математик 15 века Лука Пачоли  приводит на мой взгляд  интересные способы умножения – «решетчатое умножение»,  «маленький замок» и «русский крестьянский способ».

Я изучила эти способы, вот они.

Я провела эксперимент для всех трех способов, но уже с разными числами. Вот пример решетчатое умножение для чисел 154 х 273.

Получаем результат 42240.

  А это пример умножения «маленький замок» для чисел 2154 х 327.

Преимущество   способа умножения «Маленький замок»  в  том,  что  уже  с  самого  начала  определяются  цифры старших  разрядов,  а  это   бывает  важно,  если  требуется  быстро  оценить  величину.

Цифры верхнего числа,  начиная со старшего разряда,  поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа  нулей. Затем результаты складываются. Получаем результат 704 358.

В России  среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2. Напишем одно число слева,  а другое справа на одной строке, например, 324 х 151. Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.  Если  при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем  те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце. Получим 48 924.

   В следующем примере 256 х 1234 (когда  все числа получаются четные и их вычеркиваем), ответ будет напротив единицы, это 315 904.

Раздел II. Исследование метода умножения «круги».

Этот метод  умножения я обнаружила в Интернете. Меня заинтересовал этот способ умножения, я дала ему свое название: умножение «круги».

В Интернете был указан только один пример умножения двузначного числа на двузначное, например, 13 х 24. Я внимательно его изучила.

Круги делим на части (первый столбик – на две, второй – на четыре

В каждой получившейся части расставляем точки. Делим на области  и считаем точки в каждой области.

Начинаем с конца: 12 точек , 2 пишем, 1 в уме, получим 11, 1 пишем – 1 в уме, и 2 + 1 получим 3. Итак, 13 х 24 = 31

Я провела самостоятельное исследование и определила способ решения еще двух примеров:

1. Умножение трехзначного числа на двузначное.
2. Умножение трехзначного числа с нулем на двузначное.

 Все примеры, приведенные для демонстрации данного метода придуманы и решены мною самостоятельно.

Умножим 123 х 21. Записываем числа с помощью кругов

Делим первое число на две части, а второе не дели

Расставляем точки, делим на области и считаем точки в каждой области. Получаем ответ  2 583.

Умножение трехзначного числа с нулем на двузначное. Пример 103 х 12. Записываем с помощью кругов число 103. Так как вторая цифра 0, то круга нет (на чертеже я показала пунктиром.

Первое число не делим на части (так как один десяток), а второе число делим на 2 части.

Расставляем точки, делим на области. Считаем их: 6, 3, 2 и 1. Получаем число 1 236.

Раздел III. Исследование метода умножения «по-японски».

Как японцы умножают числа? Очень просто. Они всего лишь чертят линии и считают пересечения. Этот метод , на мой взгляд, очень схож с методом умножения «круги»

Умножим 21 х 23. Чертим линии: горизонтально  две и одну; вертикально две и три. Отмечаем точки пересечения. Разбиваем на области и считаем точки в каждой области отдельно. Начиная с права против часовой стрелке получаем ответ: 483.

Умножим 12 х 15. Выполняем все аналогично. Получаем: 10, ноль пишем – один в уме, 7 + 1 = 8 и 1, всего 180

Далее, я попробовала умножить трехзначные числа, и у меня это получилось.

123 х 234 = 28782

                                                ЗАКЛЮЧЕНИЕ    

• При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.
• В процессе выполненной исследовательской работы в соответствии с ее целью и задачами получены следующие выводы и результаты.
• 1.  Я нашла и освоила различные способы умножения многозначных чисел и могу утверждать следующее:
• - большинство способов умножения многозначных чисел основаны на знании таблицы умножения;
• - способ «решетчатое умножение» ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе;
• - преимущество способа «маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов. Это бывает важно при прикидочных расчетах, если требуется быстро оценить величину;
• - «умножение крестиком» также основано на знании таблицы умножения, но позволяет быстро и легко перемножать двузначные числа. Это делается просто и постоянно встречается в жизни;
• - все приемы умножения, которые я встретила в разных источниках, опираются на знание таблицы умножения. Только один «русский крестьянский способ умножения» не требовал знаний таблицы. Достаточно только уметь умножать и делить на два.
• 2. Исследовав метод умножения «круги» и метод умножения «по – японски», я расширила круг примеров, решенных указанным способом. Доказала, что существуют способы умножения чисел, для которых достаточно наличие карандаша и бумаги.

ые выводы и результаты выполненного исследования;

- список литературы.

  Работа представлена в сокращенном виде.  Я продолжаю эту работу. Еще есть очень интересные способы умножения,  проверяю их, экпериментирую. В дальнейшем оформлю работу с продолжением.