9.8

Тема исследования:  Признаки делимости чисел

Объектная область: Математика

 Объект исследования:    Признаки делимости чисел.

 Предмет исследования: Делимость многозначных чисел на простые и составные числа.

 Цель работы:

Учебная: Установление и систематизация  признаков делимости чисел

Развивающая: Создание условий для непрерывного самообразования, интеллектуального и творческого развития.

Практическая : Создание пособия и памятки по признакам делимости.

       Задачи работы:

1. Изучить теоретический материал по данной теме.
2. Проанализировать задания на признаки делимости из учебников и задачников для средней школы.
3. Доказать существование других признаков делимости, кроме тех которые изучаются в школьном курсе математики.

Проблема

С математической точки зрения раздел признаков делимости в школьной математике является простейшим. Однако при выполнении заданий часто встречаются большие числа, когда нужно определить делится на данное число или нет, тут, то и пригодятся знания признаков делимости. Научиться быстро выполнять деление натуральных чисел - знание признаков делимости. Понятие признаков делимости вводится уже в 6 классе,  в старших классах встречается реже, а вот при решении олимпиадных задач, предметных конкурсов, игр -  очень часто. Но в школьном курсе их изучение ограничено пятью признаками, а мы можем применять и другие.

Гипотеза

Предполагаю, что зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа и что существует универсальный признак делимости.

 Актуальность

    В умении решать задачи с признаками делимости современный человек независимо от рода деятельности и уровня образования нуждается непрерывно. Без признаков нельзя обойтись ни в финансовом анализе, ни в статистике.На уроках математики мы часто сталкиваемся с заданиями, где необходимо узнать делится ли многозначное число на число. Нам известно, как можно узнать делится ли число на 2,3,5,9, и 10, но часто приходится делить на другие однозначные числа. В этих случаях нам приходится прибегать к методу «проб и ошибок», что не всегда удобно и занимает достаточно много времени на уроке. Поэтому я выбрала для своего исследования тему «Признаки делимости». Также для выбора темы исследования сыграли роль результаты анкетирования. Я предложила учащимся ответить на один вопрос:  Какие признаки делимости ты знаешь и помнишь?

 Из диаграммы  я увидела, что к старшим классам ребята меньше знают признаков делимости и даже забывают те, что изучили в 6 классе.

 Методы исследования

В работе использовались методы:

• анализ и синтез
• сравнение и сопоставление
• эксперимент

Исследовательская часть  работы

1.Изучила подробно теорию чисел – раздел математики,

в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел –

натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость.

2. Изучила и исследовала 32 признака делимости.

3.Провела практическую часть исследовательской работы:

• - .Сделала классификацию признаков делимости.
• - Проверила  общий признак делимости для любых чисел .
• - Показала применение признаков делимости вне уроков.
• - Разработала пособие для учащихся по признакам делимости.
• - Сделала памятку по признакам делимости для учащихся

•  

• В  первом  разделе  я рассмотрела  теоретический материал по теме:

• • Что такое делимость чисел.
  • Два свойства делимости чисел, которые используются при выводе признаков делимости.
  • Признак Паскаля, который лежит в основе всех признаков делимости.

  Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел – натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость.

  Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств делимость является отношением, определённым на множестве целых чисел.

  Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

  Свойство 1. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

  Свойство 2. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

  Признаки делимости

  Сначала, я вспомнила все признаки делимости, изучаемые в 6 классе: признак на 2, на 3, на 5, на 9 и на 10.  Затем вывела признаки делимости на составные числа, проверила их для множества различных составных чисел. Привела примеры.  После этого, я начала размещать их по порядку. Чтобы сохранить порядок, я нашла и изучила недостающие признаки делимости на простые числа: 7, 11, 13, 17, 19, 23.  А когда начала работу над применением признаков делимости, в частности, в фокусах, мне пришлось еще поработать над признаками делимости на 73, на 99, на 101, на 137.  Далее, очень просто оказалось вывести признак делимости на 100, 1000 и т.д.  А когда я перемножила числа 7, 11 и 13, то у меня получился еще и признак делимости на 1001. Их  пока у меня 31 – это простые и составные числа до 25, и выборочно на 73,99, 100, 101, 137,1000, 1001 . В дальнейшем, я продолжу эту работу и исследую другие признаки делимости.

• Я провела эксперимент: Можно ли разделить признаки делимости по направлениям.

  Сделала  их классификацию  по четырем направлениям:

  По  каждому направлению выяснила, какие признаки к нему относятся, и какой метод построения данных признаков.  Из рассматриваемых методов построения признаков делимости видно, что в основе всех лежит признак ПАСКАЛЯ. (Блез Паскаль – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль нашел общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число)

• Общий признак делимости чисел

  Здесь тоже пришлось поэкспериментировать, проверить схему для множества чисел, она работает всегда.

  Общий признак делимости чисел основан:

  • на признаке Паскаля: Натуральное число  а  разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа  а на соответствующие остатки, получаемые при делении  разрядных единиц на число b, делится на это число. Например: число 2814 делится на 7, так как    делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).
  • на свойстве делимости чисел: Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

  • Применение признаков делимости в задачах

    Данный эксперимент заключался в разнообразии задач: какие задачи решаются с применением признаков делимости. Я подобрала и прорешала различные задачи на применение признаков делимости. 

    Задача 1. Из цифр 0; 3; 4; 5 составьте:

    а) трехзначные числа, делящиеся на 2 и 5 одновременно;

    б) двузначные, делящиеся на 3;

    в) двузначные нечетные числа;

    г) числа, делящиеся на 9.

    Ответ: а) 340, 430, 350, 530, 540, 450.

     б) 45; 54; 30

     в) 43, 45, 53.

     г)  45, 54, 450, 540, 504, 405

    Задача 2. Назовите несколько значений  переменной а, при которых значение  выражения (3 · 5² + 1) + а

    1. Кратно 2
    2. Кратно 5
    3. Кратно 3
    4. Кратно 9
    5. Кратно 10

    ОТВЕТ:

    1. а=0;2;10
    2. а=4;9;14
    3. а=2;5;11
    4. а=5;14;23
    5. а=4;14;2

    Задача 3. Делится ли на 2 сумма чисел 142 + 18 + 1990 + 1014?

    Ответ:  Делится  по признаку делимости на 2.

    Задача 4. Делится ли на 5 произведение чисел 105 · 48 · 93 · 54?

    Ответ:  Делится  по признаку делимости на 2

    Задача 5.Докажите, что делится на 43

    Задача 6.Докажите, что делится на 13

    Задача 7.Докажите, что делится на25

    Задача 8.Докажите, что делится на 110

    Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах

    Во все времена вызывали неподдельный интерес и у детей и у взрослых математические фокусы. Мой эксперимент заключался в выяснении признаков делимости, используемых в фокусах.

    Фокус № 1. Признак делимости на 7, 11, 13 используется при следующем числовом фокусе. Предложить друзьям загадать трехзначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное шестизначное число на 7. Это число нацело разделится на 7. Затем предложит полученное число разделить на 11, а результат – на 13. К удивлению друзей, они получат в результате загаданное им число.

    Фокус № 2. Можно так же использовать признак делимости на 73 и 137. Предложить друзьям загадать пятизначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное десятизначное число на 137. Затем предложить полученное число разделить на 73. К удивлению друзей,  получится в результате загаданное им число.

    Вывод:  

    Зная признаки делимости на простые числа, можно сформулировать признаки делимости на составные числа.                            

    Зная методы исследований признаков делимости натуральных чисел можно сформулировать признаки делимости любых натуральных чисел.

    Заключение

    В результате изучения различной литературы, гипотеза была подтверждена, действительно существуют другие признаки делимости, кроме тех которые мы изучаем в школьном курсе математики в огромном количестве. Вывел общий признак делимости великий французский ученый Паскаль. Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля.

    Систематизировав полученную информацию, было замечено, что,  зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа и что существует универсальный признак делимости, с помощью которого можно получить признак делимости на любое натуральное число. Полученные результаты были сведены в одну таблицу. 

    Цель достигнута. Знание основных признаков делимости значительно упрощает процесс вычисления. Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать  школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятиях. 

    Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, которые стали принимают участие в предметных конкурсах и.

    Надеюсь, эта работа привлечет интерес к предмету математике.

     

    IV. Список литературыКонец формы

    1.Воробьев Н.Н. Признаки делимости—4-е изд.—М.:Наука, 1988.— С. 96.

    2.Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4—8 кл. сред. шк. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 1988.

  • 3.Савин А.П .Энциклопедический словарь юного   математика.-  М. «Педагогика» 1989.

  • 4.  Савин А.П. Я познаю мир: Математика – «АСТ», 1999

    5.  Яковлин М.В.  Свойства чисел, аналогичных теореме  Безу,  математика в школе», 1991, №6.

  • 6. http://dic.academic.ru/(Википедии — свободной    энциклопедии).

    7. http://www.bymath.net (энциклопедия)

     

Работа представлена в сокращении.