0

Далеко не все люди осознают ,что любой их шаг можно просчитать с помощью теории вероятности. Эта теория используется везде, её логика позволяет вести разработки опираясь на просчитанные результаты.Знание этой теме поможет ученикам, сдающим ОГЭ и ЕГЭ, т.к. в тестах есть задачи на вероятность. Также эта теория поможет абитуриентам, поступающим в вузы и университеты.

Я хочу пролить свет на эту теорию, показать вам способы и методы просчета вероятности любого события, которое поддается объяснению.Я разберу основные принципы просчета вероятности, способы нахождения вероятности нескольких событий, или одного события из многих.

Проблему моей темы поможет решить подробный разбор формул и теорем. Терминология теории вероятности. Теорема: Вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов. Основные элементы теории: Ω (омега) – пространство(множество) элементарных событий. Элементы этого множества обычно обозначаются символом ω. P - вероятность события. Например P(A) - вероятность события А. А - событие(исход эксперимента). n - общее число несовместных равновозможных исходов. m - число благоприятных исходов. Например МА – благоприятный исход события А. Это основная формула теории: P(A)=|МА| / |n| Её читают так: Вероятность события равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к общему числу исходов. Достоверные и невозможные события. Достоверное событие Ω ( множество всех исходов случайного эксперимента ),происходит при каждом исходе случайного эксперимента. Вероятность достоверного события равна единице; Невозможное событие не содержит ни одного исхода случайного эксперимента (пустое множество исходов) и не происходит ни при каком исходе случайного эксперимента. Вероятность невозможного события равна нулю. Идеальные и реальные события. Реальное событие- это событие, которое может являться достоверным или невозможным. Идеальное событие- оно отличается от реального тем, что обладает рядом парадоксальных свойств.Обычно свойствам идеального события приводят пример: Вероятность попадания в какую-либо произвольную точку на отрезке равна нулю, хотя попадания возможны. Правило сложения: Вероятность того, что произойдет какое-либо из нескольких несовместных событий, равна сумме вероятностей рассматриваемых событий. Правило умножения: Вероятность того, что произойдет сразу несколько событий, равна произведению вероятностей этих событий.

Я рассмотрю задачи на вероятность, покажу их решение.

Классические задачи. Задача 1. Какова вероятность того, что на грани кубика выпадет число очков, кратных трем? Пусть событие А – выпадение грани кубика с числом очков, делящихся без остатка на три. В этом случае МА =2(т.к. на 3 делятся только 3 и 6), а n=6(т.к. у кубика 6 граней). Применив основную формулу P(A)=|МА| / |n| получим: P(A)= 2/6 или 1/3. Таким образом Р(А)=1/3. Задача 2. В мешке находятся 15 шаров, различающихся только по цвету(7 белых, 2 зеленых и 6 красных). Вы вытаскиваете наугад один шар. Какова вероятность того, что извлеченный из мешка шар будет белым / зеленым / красным? Извлечение белого шара будем рассматривать как событие А, красного – как событие В, зеленого – как событие С. Число исходов, благоприятных для извлечения шара того или иного цвета, равно числу шаров соответствующего цвета: МА=7, МВ=6, МС=2. Используя основную формулу, и учитывая, что n=15(т.к. всего шаров 15), находим искомые вероятности: Р(А)= МА/n=7/15; Р(В)= МВ/n=6/15=2/5; Р(С)= МС/n=2/15. Задачи на сложение и умножение вероятностей.Задача 3. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать? Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем - любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т.е. n1=30, n2=29, n3=28. По правилу умножения общее число N способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно N=n1n2n3=302928=24360. Задача 4. В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта? Деталь 1-го сорта может быть извлечена n1=30 способами, 2-го сорта – n2=50 способами. По правилу суммы существует N=n1+n2=30+50=80 способов извлечения одной детали 1-го или 2-го сорта. Задачи из ОГЭ.Задача 1. Сережа с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе тридцать восемь кабинок, из них 5 синих, 23 зеленых, остальные оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Сережа покатится в оранжевой кабинке.Для начала найдем количество оранжевых кабинок: 38-(25+3)=10. Ма=10, n=38. Тогда:Р(А)= |Mа| / |n| = 10/38= 5/19. Задача 2. В фирме такси в данный момент свободно 3 черных, 3 желтых и 14 зеленых машин. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси. Сначала найдем общее количество свободных машин: 3+3+14=20. Ма=3, n=20. Тогда: Р(А)= |Ма| / |n| = 3/20. Задача 3. Женя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 100. Всего трехзначных чисел 900. Из них делятся на 100 лишь те, у которых в конце два нуля. Таких чисел 9. Ма=9, n=900. Тогда:Р(А)= |Ма| / |n| = 9/900 = 1/100.Задача 4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что последним будет выступать один из спортсменов из Швеции. Сначала найдем общее количество спортсменов: 4+9+7+5=25. Нас удовлетворяет только одна позиция спортсмена в очереди – последняя, и она одна. Следовательно Ма=1, n=25. Тогда:Р(А)= |Ма| / |n| = 1/25. Задача 5.Вероятность того что новая шариковая ручка пишет плохо(или не пишет), равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо. Т.к. вероятность достоверного события равна единице, а вероятность неблагоприятного исхода эксперимента равна 0,1, то: 1 -0,1=0,9. Вероятность того, что ручка пишет хорошо равна 0,9. Задачи из ЕГЭ. Задача 1. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах. Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25. Задача 2. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным. Здесь задача решается аналогично, то есть вероятность равна 18/30. Задача 3. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая. Из расчетов узнаем, что спортсменок из Китая 5. Значит вероятность выступления китайской спортсменки последней равна 5/20. Расмотренные мною задачи взяты из учебников для подготовки к экзаменационным работам и из "Всемирной Паутины".Я думаю, расмотренные мною задачи помогут вам создать свое представление о теории вероятности,и пользоваться ее на экзаменах.

Моя работа может быть полезной ученикам 9-11 классов, абитуриентам, или же студентам вузов или университетов.