0

Аннотация.

      Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Ими мостили дороги, украшали полы в помещениях, стены домов, использовали в декоративно –прикладном искусстве. Несмотря на известность понятия «паркет», нет собранной воедино теории по этому вопросу. Литература разрознена, сайты в Интернете дают скудную информацию. Поэтому  цель работы состояла в подробном изучении паркета. 

Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов.

Задачи:

1. Изучить литературу о паркетах.

2. Найти исторический материал.

3. Научиться решать задачи.

 Автор работы выдвигает  гипотезу: количество правильных паркетов бесчисленное множество.

Объект исследования - паркеты.

Автор работы использует различные методы исследования : анализ научной, учебной литературы; сравнение и анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод аналогии.

 По результатам  исследования  автор делает вывод, что правильных паркетов  только 11.

На уроках математики 6 класса изучается тема: «Многоугольники». Приглядевшись внимательнее, я стала замечать эти многоугольники вокруг себя: паркет, линолеум, кафельная плитка, геометрические орнаменты в художественных изделиях, в оформлениях книг. А сколько же их может быть этих паркетов, встал передо мной вопрос? Как их так мудро и красиво соединяют? Этот материал мы еще не изучали, и передо мной встала  цель- подробно изучить паркеты. Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов.

Выдвигаю гипотезу: Правильных паркетов бесчисленное множество.

История паркета берет начало с древних времен, когда люди стали выкладывать пол простыми деревянными бревнами. Древесина легко поддавалась обработке. Конечно, среди пород древесины были редкие по своим качествам, следовательно, дорогостоящие и элитарные сорта. Если сосна или дуб годились для простого настила из бревен или "кирпичей", то породы типа клена, ясеня, яблони, ольхи (не говоря уже о ценных сортах красного, черного дерева) требовали более изысканной обработки. Из редких сортов дерева стали изготовлять изящные паркетные плитки. Само слово "паркет" имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, а название закрепилось за настилами из деревянных планок и распространилось за пределами Франции. В России паркетные полы были нововведением Петра I, который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Особенно интересным явлением в первой половине XVIII века была организация нашим великим русским ученым М. В. Ломоносовым мозаичного производства, где изготовлялись смальты из особого состава, изобретенного самим Ломоносовым, который в своих мозаичных работах достиг большого технического и художественного мастерства.

     1.2 Определения

Советский энциклопедический словарь дает такое определение паркета: паркет (франц. parquet), небольшие древесные, строганные планки (клепки) для покрытия пола.

Другие определения: паркетом будем называть такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек; также паркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими.

Паркет (из словаря С. И. Ожегова) - настил на полу из дощечек, уложенный так, что они образуют какой-нибудь рисунок. Паркет (или мозаика) – бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек; но мы будем рассматривать как правильные, так и неправильные многоугольники.

Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же  способом.

2 Правильные паркеты

Легко видеть, что вообще паркетов - не обязательно правильных - существует бесчисленное множество. Сколько же всего существует правильных паркетов? Может их бесчисленное множество? Как они устроены? Вот на эти вопросы я хочу дать ответы. Решение задачи естественно начну с исследования вершин паркета. Любые две вершины устроены одинаково в том смысле, что звезды всех вершин одинаковы. (Звездой называется фигура, образованная всеми многоугольниками, содержащими ее). Сумма углов многоугольников, сходящихся в одной вершине равна 360°.

В вершине паркета может сходиться не более шести и не менее трех многоугольников. Действительно, при схождении в одной вершине семи или более многоугольников хотя бы один угол в правильном многоугольнике должен быть менее 60°, что невозможно (минимальный, угол у правильного треугольника — равен 60°).При схождении в одной вершине двух многоугольников у одного из них внутренний угол должен быть более 180°, что невозможно. Таким образом, реше­ние задачи распадается на анализ тех вариантов, когда в вершине паркета сходятся 3, 4, 5 и 6 правиль­ных многоугольников.

 2.1 Паркеты с тремя многоугольниками в вершине

Здесь возможны три случая (в зависимости от набора многоугольников в каждой вершине):1. Три одинаковых многоугольника.2. Два одинаковых и один отличный от них. 3.Три различных многоугольника. К каждой вершине примыкает 3 шестиугольника. Это один из простейших правильных паркетов . Паркет, часто встречающийся на практике: квадрат и четыре шестиугольника.

А вот комбинация Десятиугольник+2 пятиугольника в отличие от ранее рассмотренных, пра­вильного паркета не образует. Убе­диться в этом позволяет «достройка»  окружения вершины  еще одним многоугольником (желтого цвета). В вершине правильного паркета не могут сходиться три раз­личных многоугольника, у одного из которых нечетное число сторон.

2.2 Паркеты с четырьмя многоугольниками в вершине

В этом случае мы получим самый обычный квадратный паркет.

Шестиугольник, шесть квадратов и шесть треугольников - правильный паркет.

Два треугольника и два шестиугольника.

Таким образом, «четырехмногоугольных» паркетов три: 4квадрата; треугольник+2квадрата+ шестиугольник;    2треугольника  + 2шестиугольника.

2.3 Паркеты с пятью многоугольниками в вершине

Остается теперь рассмотреть най­денные комбинации: шестиугольник+ 4треугольника_; 2квадрата + 3треугольника.

Первая из них дает единственный тип вершины и единственный правиль­ный паркет: шестиугольник и четыре треугольника. Вторая комби­нация: два квадрата и три треугольника. 

Таким образом, «пятимногоугольных» паркетов  три:   Шестиугольник + 4 треугольника; 2 квадрата + 3треугольника   ; 2квадрата + 3треугольника _.

2.4 Паркеты с шестью многоугольниками в вершине

Совершенно очевидно, что такой пар­кет — единственный, по­лучающийся   из комбинации 6треугольников.

Перечисленные выше случаи исчерпали все многообразие правильных паркетов. Их общее число – одиннадцать!    

3 Паркеты из неправильных многоугольников

Легко покрыть плоскость параллелограммами. Вообще можно замостить плоскость копиями произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого.. Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма. А вот этот красивый паркет из криволинейных плиток получен деформацией обычного шестиугольного паркета из правильных шестиугольников. Как легко видеть, его можно продолжить на всю плоскость. Как устроены отдельные плитки, показано на. Стороны треугольников заменены дугами описанных около них окружностей.

Все вышеперечисленные паркеты периодичны, т.е. в каждом из них можно выделить составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет.

 Интерес ученых к таким конструкциям объясняется тем, что периодические замощения, особенно замощения пространства, моделируют кристаллические структуры.

Существуют и непериодические замощения, например спиральное замощение плоскости девятиугольниками, придуманное в 1936 году немецким математиком Х. Фодербергом. (Рис. 16). Также существуют квазипериодические паркеты, например паркет английского математика Роджера Пенроуза.

 Знаменитый голландский художник Мариус Эшер (1898-1972) посвятил орнаментам несколько своих картин. Среди них: "Всадники", "Летящие птицы"; "Ящерицы".

Рассмотрим способы построения нового паркета. Итак, как нарисовать паркет?

Способ первый. Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие растяжение, замена

прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков. Пример: паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Способ второй. Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки:

Способ третий. Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета. Пример (разбиения сетки из греческих крестов):

Способ четвертый. Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать... получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры. Если рассматривать только незамкнутые кривые и ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом №1.

А вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:

III Заключение

Несмотря на известность понятия «паркет», нет собранной воедино теории по этому вопросу. Литература разрознена, сайты в Интернете дают скудную информацию. Поэтому практическую значимость работы вижу в ее дальнейшем применении.

В результате изучения научной литературы о паркетах я считаю, что цель моей работы достигнута. Я подробно изучила паркеты, поняла принципы их построения, а самое главное получила эстетическое наслаждение от их красоты. Увидела их широкое применение в жизни людей. Обнаружила связь геометрии, черчения, информатики, изобразительного искусства, истории, и даже музыки.

Выдвинутая мною гипотеза о бесконечном множестве правильных паркетов оказалась неверна: в ходе работы я выяснила, что правильных паркетов только 11.