6.2

Диофантовы уравнения имеют большое значение для описания процессов реальной действительности. Они хорошо изучены, широко представлены в научной, научно – популярной литературе, но в школьном курсе математики ими не занимаются.

Объект исследования: Диофантовы уравнения. Предмет исследования: Решение и практическое применение диофантовых уравнений.

Мы предполагаем, что использование компьютерной программы «Живая геометрия» поможет упростить процесс решения линейных диофантовых уравнений, сделав решение более доступным и наглядным.

Решение линейных диофантовых уравнений различными способами.

Мы ознакомились с биографическими сведениями ученых Диофанта Александрийского, Пьера де Ферма, Эндрю Вайлса, имена которых тесно связаны с теорией диофантовых уравнений. В «Энциклопедическом словаре юного математика» нами был найден способ решения диофантовых уравнений 1-ой степени с помощью готовых подстановок. Мы выяснили, что такие решения существуют в случае, если коэффициенты при переменных являются взаимно простыми числами. Для закрепления новоприобретенных навыков мы сами составляли диофантовы уравнения 1-ой степени и решали их методом "спуска" и графически. Мы убедились, что геометрической моделью диофантова уравнения является прямая; проверили на практике, что диофантовы уравнения имеют бесконечное множество решений. Мы доказали, что использование компьютерной программы «Живая геометрия» поможет упростить процесс решения линейных диофантовых уравнений. Мы научились применять программу "ЖГ" для решения задач с практическим содержанием.

Материалы, представленные в данной работе, могут быть использованы на уроках математики в 7 классе при изучении темы: «Линейные уравнения с двумя переменными», при организации повторения курса в конце учебного года, во внеклассной работе по предмету.

Диофантовы уравнения - это системы уравнений с несколькими переменными, число которых превышает число уравнений. Такие математические модели - способ описания процессов, зависящих от нескольких условий. Это позволяет рассматривать диофантовы уравнения как междисциплинарное явление, применяемое в биологии, физике, генетике и т.д.. Более того, диофантовы уравнения имеют огромное практическое значение, поскольку могут описывать сложнейшие реальные процессы. Например, мост Золотые Ворота в Сан-Фрнациско построен с применением диофантовых уравнений, которые учитывают скорость ветра, силу волн, бьющих в основание моста, возможные тектонические сдвиги и т.д.

Диофантовы уравнения в настоящий момент достаточно популярная тема для исследований, поскольку одна из величайших теорем (теорема Ферма) является доказанной, но доказательство Эндрю Вайлса не совпадает с доказательством самого Ферма.
В седьмом классе мы научились решать и составлять диофантовы уравнения первой степени. В нашей работе рассмотрены несколько типов решения: аналитический, графический.
Особенно интересно проводить подобные расчеты с помощью программы "Живая геометрия". В работе представлено подробное описание построения графиков и проверки ответов, полученных другими способами, при помощи компьютерных технологий, которые крайне полезны современным школьникам. МЫ считаем, что в этом заключается новизна нашей работы.
Таким образом, мы выяснили, что в современной школе возможны новые подходы к классическим математическим проблемам. Решение диофантовых уравнений при помощи компьютерных программ позволяет использовать доступное оборудование и развивать нестандартные подходы к решению нестандартных проблем, не входящих в стандартные школьные задания.