10

Проблема: какие необычные способыпостроения синусоиды можно выполнить, опираясь на экспериментальные данные и на приобретенные знания и умения, полученные на уроках математики, физики и информатики.

Объект исследования –получение синусоиды необычным способом-разрезанием свечи под разными углами к диаметру свечи. Предмет исследования – синусоида, полученная при разрезании свечи.

Гипотеза – существуют ли другие способы получения синусоиды отличные от тех,которые предложены в школьном курсе математики? Если существуют, то есть необходимость отыскать, смоделировать и получить хотя бы один из них.

Цель работы - совмещение простого опыта - получение синусоиды с составлением сложной математической модели и обоснование этого способа с использованием знаний курса алгебры и геометрии.

Результат работы: 1. Провел эксперимент - обворачивая свечу бумагой и разрезая ее наискосок ножом под разными углами. При разворачивании бумаги получил кривую линию. Переложил практическую ситуацию на язык математики, т.е. построили математическую модель и обосновал, что полученная кривая есть синусоида. 2. Предложил практическое применения этого способа. 3. Изготовил дополнительное пособие по данной теме в виде книжки-буклета.

Практическая значимость: результаты моей работы – полностью или частично – могут быть использованы на уроках математики, на факультативных и элективных курсах математики, физики, информатики с целью получения углубленных знаний и повышения интереса к предмету. Предложенный мной способ получения синусоиды, может быть использован в легкой промышленности (швейном производстве - технология обработки края и уголков салфеток или скатерти),для получения тканей с волнообразными краями, а также в других видах производства(см. приложение №6).

         Синусоида играет важную роль в математике, физике, астрономии, технике и других науках. Человек давно заметил, что очень многие явления на Земле повторяются периодически, и жизнь тесно связана с ними. И потому, на мой взгляд, тема является актуальной  для современной ситуации.

        Изучая работы  известного польского математика Гуго Штейнгауза, опубликованных в книге «Математический калейдоскоп», я натолкнулся на необычный способ получения синусоиды. Он заключается в следующем: если обернуть свечу бумагой,  потом   разрезать свечу наискосок острым ножом, а затем, разнять обе половинки свечи и развернуть бумагу, то получится кривая линия – синусоида (см. приложение №1).                                                                                            

         Проделал этот опыт, разрезая свечу под выбранным углом в 45º, получил наглядную картину.

         Но действительно ли это синусоида? Тогда я решил попробовать обосновать этот факт математически.

Переложил сначала на язык математики представленную    практическую ситуацию, т.е. построил математическую модель:

Взял лист бумаги (форма прямоугольник) и нарисовали на нем оси координат  (см. приложение №1)

Затем свернул этот прямоугольник в прямой круговой цилиндр, радиус основания R  (на практике взяли свечу радиусом 1 см). Ось Ох при этом свернулась в окружность радиусом R, а ось Оy стала образующей цилиндра.

Через диаметр полученной окружности, проходящий через точку О провел сечение, составляющее с плоскостью окружности угол α. В этом случае сечение будет эллипс.

 

I.     Обоснование построения синусоиды при проведении сечения к плоскости под углом в 45º. Свеча радиусом R=1см, длина окружности свечи ≈ 6см (см. приложение  №1).

1. 1.      Математические расчеты:

• Взял  на эллипсе точку А, опустил из нее перпендикуляры на плоскость окружности и диаметр окружности OD. Получил соответственно точки В и К.
• Рассмотрел на математической модели ∆АВК - прямоугольный и равнобедренный, так как <АКВ=
• Х-длина дуги OB, х=Π/2 , т.к. OB-дуга, которую стягивает центральный угол ОКВ, < ОКВ=90 º.

1. 2.      Замеры  на модели с помощью линейки:

• АВ =1см, OB=Х=1,7см.

Аналогично выбрал еще одну точку на эллипсе.

 

1. II.     Перейдем к работе на плоскости (построению графика).

 Развернул цилиндр обратно в прямоугольник. Отметил  на  координатной плоскости  полученные точки и отложил замеренные расстояния. Построил симметричные точки (см.приложение «математические модели») где  АВ = sinх, где х = ОВ.

Вывод: получил кривую, которая является частью синусоиды (см. приложение №2),  где значение sinх (координаты у) в нашем случае -1≤sinх≤1.

 

 Далее я решил продолжить исследование и выяснить, какие кривые получаются,

если сечение провести не под углом 45º, а под другими углами α.

          Рассмотрел при α = 30º и α = 60º  и провел аналогичную работу

 (см. приложения №2, №3).

        Интересной особенностью при работе явилось следующее предположение: если плоскость сечения цилиндра не проходит через точку О, а проходит через диаметр, образующий с ОD угол φ. В этом случае можно предположить  ситуацию аналогично прежним, тогда получим графическое представление в виде синусоиды, задаваемой формулой у=sin (х-φ). График такой кривой получается из графика у = sinх сдвигом по оси  Ох на угол φ. Если выбрать  угол φ =Π/4 , то получаем график функции у = sin (х - Π/4 ) соответствующий виду (см. приложение №4).

          Если при исследовании учитывать толщину листа бумаги, которая обворачивается вокруг свечи, то цилиндры различных слоев этой бумаги будут иметь разные радиусы, увеличивающиеся по мере удаления от центра.

          В этом случае при выстраивании математической модели подобно моделям в предыдущих случаях и сворачивании ее в прямой круговой цилиндр не единичного теперь радиуса, а радиуса равного, например, числу m и выполняя с этим цилиндром все аналогичные операции,  в результате также образуется синусоида, задаваемая уже формулой у = msin(х/m) . График этой кривой подобен графику у = sinх и получается из него сжатием (растяжением) в m раз вдоль осей Ох и Оу. Если, например, R = m = 2, то график функции у = 2sin(х/2)  получается из графика функции    у = sinх растяжением в 2 раза по обеим осям (см. приложение№4).

 

   Перспектива         

          В процессе работы у меня возник следующий вопрос: если провести сечение к плоскости свечи не через диаметр и не через центр системы координат, а через хорду этого сечения? Практически мы провели этот эксперимент под углом 45º. В результате я получил линию, очень похожую на синусоиду, но со срезанными «макушками» (см. приложении №6). В перспективе исследовать такой тип синусоид, выстроить к ним математическую модель, провести графическое обоснования и показать их применение в процессах преобразования сигналов - детектирования.