0

Объект исследования: задачи о выборе оптимальной системы гирь. Предмет исследования: позиционная система счисления.

Гипотеза: Я думаю, что можно отвесить любое целое число граммов, кладя гири только на одну чашку весов или на обе чашки.

В работе рассмотрены вопросы представления чисел в двоичной и троичной системах счисления и применение их в решении задач на взвешивание. Решение задачи о выборе наилучшей системы гирь подвигло на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовало развитию других разделов математики. Работая над проблемой о выборе наилучшей системы гирь, я практическими расчетами подтвердила, что «оптимальным решением" является двоичная и троичная система гирь. Наше исследование подтвердит, что "оптимальным решением" первой задачи является двоичная система гирь {1, 2, 4, 8, ..., 2n-1}, которая "порождает" двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров. Троичная система гирь {1, 3, 9, 27, ..., 3n-1}, которая "порождает" троичную систему счисления, является решением второй задачи. В результате работы я подтвердила гипотезу о том, что можно отвесить любое целое число граммов, кладя гири только на одну чашку весов или на обе чашки. Изучив подробно литературу и теорию по теме исследования, я составила таблицу 2, которая показывает каким наименьшим числом гирь можно взвесить груз от 1 до 50 г с точностью до 1 г, помещая гири только на одну чашку и на обе чашки весов. Данная таблица может быть использована на уроках химии при выполнении лабораторных работ. Мне был интересен сам процесс составления таблицы, используя двоичную и троичную запись числа.

Актуальность: В сборниках нестандартных задач по математике часто встречаются задачи на взвешивание с помощью разновеса гирь 1,3,9, 27 и т.д. или 1,2,4,16, 32,64 и т.д. Кроме того, такие задания нередко включают в математические олимпиады, поэтому нам, увлекающимся математикой, полезно знать способы решения задач такого типа.

В истории математики известна "задача о выборе наилучшей системы гирь", называемая в русской историко-математической литературе "Задачей Баше-Менделеева". Впервые эту задачу в математику ввел, выдающийся итальянский математик Леонардо Пизано Фибоначчи, рассмотревший ее в своей знаменитой книге "Liber Abaci" (1202). Из книги Фибоначчи эта задача "перекочевала" в сочинения еще одного выдающегося итальянского математика, профессора многих итальянских университетов Луки Пачиоли (16 век). Позже эта задача появляется в "Сборнике приятных и занимательных задач" французского математика Баше де Мезириака (17 век). В 19 веке этой задачей интересовался выдающийся русский ученый Дмитрий Иванович Менделеев в его бытность Директором Главной Палаты Мер и Весов России. В чем же состоит суть этой задачи? Одним из наиболее древних измерительных устройств являются рычажные весы, которыми каждый из нас пользовался неоднократно. При взвешивании мы используем некоторую систему гирь; при этом «взвешивание» некоторого груза осуществляется путем его сравнения с гирями, имеющимися в нашем распоряжении. Процедура взвешивания, выполняемая в соответствии с некоторыми правилами, называется алгоритмом взвешивания или алгоритмом измерения. При этом возникает задача о выборе «оптимальной» системы гирь, которая по существу сводится к задаче о нахождении «оптимального» алгоритма измерения. Таким образом, заслуга Фибоначчи состоит в том, что он сформулировал первую в истории математики «оптимизационную задачу» в теории измерения. Известны два варианта решения «задачи о гирях». В первом случае взвешиваемый груз находится на левой чаше весов, а гири разрешается класть только на правую («свободную») чашу весов; во втором варианте гири разрешается класть на обе чаши весов. 5 Наше исследование подтвердит, что "оптимальным решением" первой задачи является двоичная система гирь {1, 2, 4, 8, ..., 2n-1}, которая "порождает" двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров. Троичная система гирь {1, 3, 9, 27, ..., 3n-1}, которая "порождает" троичную систему счисления, является решением второй задачи. Задача о взвешивании при условии, что гири кладутся только на одну чашку весов при помощи одного набора гирь Двоичная система счета позволяет найти набор гирь, с помощью которого можно получить любой вес от 1 г. до 127 г. Этот набор состоит из гирь в 1 г, 2 г, 4 г, 8 г, 16 г, 32 г и 64 г. Пример 3: Пусть требуется взвесить груз в 57 грамм. Переведем число в двоичную систему. 57/2=28 (1) 28/2=14(0) 14/2=7(0) 7/2=3(1) 3/2=1(1) 1/2=0(1) 5710=1110012=1*25+1*24+1*23+0*22+0*2+1*1=32+16+8+1 Груз в 57грамм может быть уравновешен гирями: 32г+16г+8г+1г. А если нужно взвешивать вещи побольше, то к нашему набору гирь надо добавить разновески в 128 г, 265 г, 512 г и далее удваивать полученные числа.Пример 4: Пусть требуется взвесить груз в 147 грамм. Переведем число в двоичную систему. 147/2=73 (1) 73/2=36(1) 36/2=18(0) 18/2=9(0) 9/2=4(1) 4/2=2(0) 2/2=1(0) 1/2=0 (1) 14710=100100112=1*27+0*26+0*25+1*24+0*23+0*22+1*2+1*1=128+16+2+1 Груз в 147грамм может быть уравновешен гирями: 128г+16г+2г+1г. 6 Имея один набор гирь двоичной системы, то есть гири 1, 2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32, 26=64, 27=128 и так далее граммов, мы можем отвесить любой груз, кладя на одну чашку весов груз, на другую – гири. Чтобы найти, какие именно гири надо положить на чашку весов, надо данное число граммов обратить в двоичную систему, что всегда возможно единственным образом. Имеем троичную систему гирь 1г, 3г, 32=9г , 33=27г, 34=81г, 35=243г и так далее. Пример 5: Пусть требуется взвесить груз в 111 грамм. Переведем число в троичную систему. 111/3=37(0) 37/3=12(1) 12/3=4(0) 4/3=1(1) 1/3=0(1) 11110=110103=1*34+1*33+0*32+1*3+0*1=81+27+3. Груз массой 111 г может быть уравновешен, кладя на другую чашу весов по одной гири троичной системы, так как сумма весов гирь: 81г+27г+3г=111г. Однако не всякое число граммов может быть уравновешено таким образом гирями троичной системы; иногда при взвешивании приходиться класть гири на обе чашки весов. Задача о взвешивании при условии, что гири кладутся только на обе чашки весов при помощи одного набора гирь Имеем троичную систему гирь 1г, 3г, 9 г, 27г. Пример 6: Пусть требуется взвесить товар в 17г. Переведем число в троичную систему. 17/3=5(2) 5/3=1(2) 1/3=0(1) 1710 =1223=1*32+2*3+2*1=1*9+2*3+2*1. 17 г может быть уравновешен, кладя на другую чашу весов одну гирю троичной системы 9 г и по две гири весом 3 г и 1 г. Но чтобы воспользоваться одним набором гирь троичной системы, при взвешивании приходится класть гири на обе чашки весов. Например, чтобы уравновесить вес массой 17 г прибавим на чашку весов, где находиться груз по одной гири массой 1г, 9 г. Данный вес будет уравновешивать гиря массой 27 г. 17 +1+9=27 27г=27г. 7 Таким образом, груз весом 17 г можно взвесить при помощи одного набора троичных гирь, если гири кладутся на обе чаши весов. Пример 7: Пусть требуется взвесить груз весом 42 г . Переведем число в троичную систему. 42/3=14(0) 14/3=4(2) 4/3=1(1) 1/3=0(1) 4210 =11203=1*33+ 1*32+2*3+0*1=1*27+1*9+2*3. 4210 +3 =1*27+1*9+2*3+3. 4210 +3 +9=1*27+2*9+9 4210 +3 +9=1*27+3*9 4210 +3 +9==2*27 4210 +3 +9+27=2*27+27 4210 +3 +9+27=3*27 4210 +3 +9+27=81 Груз массой 42 г может быть уравновешен, кладя на другую чашу весов по одной гири троичной системы 27г, 9 г и по две гири весом 3г. Но чтобы воспользоваться одним набором гирь троичной системы, при взвешивании приходится класть гири на обе чашки весов. Например, чтобы уравновесить груз массой 42 г прибавим на чашку весов, где находиться товар по одной гири массой 3г, 9г, 27 г. Данный вес будет уравновешивать гиря массой 81 г. 42 +3+9+27=81 81 = 81. Таким образом, груз весом 81 г можно взвесить при помощи одного набора троичных гирь, если гири кладутся на обе чаши весов. Пример 8: Пусть требуется взвесить груз в 155 грамм при помощи одного набора троичных гирь. Переведем число в троичную систему. 155/3=51(2) 51/3=17(0) 17/3=5(2) 5/3=1(2) 1/3=0(1) 15510=122023=1*34+2*33+2*32+0*3+2*1=1*81+2*27+2*9+0*3+2*1. 15510+1=1*81+2*27+2*9+0*3+2*1+1 8 15510+1=1*81+2*27+2*9+1*3 15510+1+ 9=1*81+2*27+2*9+1*3 +9 15510+1+ 9=1*81+2*27+3*9+1*3 15510+1+ 9=1*81+3*27+1*3 15510+1+ 9+81=2*81+1*3+81 15510+1+ 9+81=3*81+1*3 15510+1+ 9+81=243+1*3 246=246 Равенство 15510+1+ 9+81=243+1*3 показывает, что если на левой чашке будет груз в 155грамм и гири в 1г, 9г, 81г, то для равновесия на правую чашку надо положить гири троичной системы 243г и 3 грамма: груз 155 граммов взвешен при помощи одного набора троичных гирь. Таким образом, любой груз, весящий целое число граммов, может быть отвешен при помощи одного набора гирь троичной системы, если класть гири на обе чаши весов. Одно и тоже число гирь, например 6 гирь, дает возможность взвешивать грузы в двоичной системе до 1+2+4+8+16+32=63 грамма, а в троичной системе до 1+3+9+27+81+243=364 грамма. Троичная система гирь выгоднее, чем двоичная. При уравновешивании груза гирями двоичной системы гири пришлось класть только на правую чашку весов: поэтому вес груза, например 147 граммов, представлялся в виде суммы 147=128+16+2+1=27+24+2+1. При пользовании гирями троичной системы гири пришлось класть на обе чашки весов и вес груза, например 155 граммов, представлялся равенством: 155+1+ 9+81=243+3. Это равенство можно переписать так: 155=35+3-34-32-1. Такие равенства можно составить для любого натурального числа. Мы подтвердили, при помощи одного набора гирь двоичной системы можно отвесить любое целое число граммов, кладя гири только на одну чашку весов, а при помощи одного набора гирь троичной системы – кладя гири на обе чашки.