10

После изучения темы на уроке физики:"Правило рычага" (или как его еще называют, «золотым правилом механики»), у детей возник вопрос:"А можно ли любой предмет подвесить на вертикальной ниточке, и чтобы он находился в равновесии?И где это можно применить (или уже применяется)в повседневной жизни?"

Объектом исследования являются: плоские и пространственные фигуры.

Мы предполагаем, что у любой фигуры можно найти центр тяжести.

Сравнительные результаты работы с выводами:1) при нахождении центра тяжести n материальных точек (при n>2) надо сначала найти центр тяжести n-1 материальных точек, поместить в этой точке массы всех n-1 точек, а затем найти центр тяжести этой вновь образовавшейся материальной точки с n-й материальной точкой;2)центр тяжести отрезка – это его середина; 3)центр тяжести ломаной – это центр тяжести системы материальных точек, которые образуются, если сосредоточить массу каждого звена ломаной в его центре тяжести;5)центр тяжести прямоугольной пластины – это точка пересечения диагоналей;6)центр тяжести любой пластины – это такая точка, если к пластинке в этой точке привязать нить и подвесить, то пластинка будет в равновесии.

В ходе исследовательской работы, на большом числе примеров выяснили, как некоторые идеи механики могут в свою очередь служить подспорьем для геометрии, как применение этих идей позволяет просто решить трудные геометрические задачи.

 Понятие центра масс.

В физике под материальной точкой понимают тело, размерами которого можно пренебречь при сравнении с расстояниями до других тел, рассматриваемых в задаче. Для упрощения рассуждения такое «малое» тело рассматривают как геометрическую точку (т.е считают, что вся масса тела сосредоточена в одной точке). Если в точке А сосредоточена масса М, то будем эту материальную точку обозначать через МА, т.е будем записывать материальную точку в виде «произведения».

Рассмотрим два небольших шарика, имеющих массы m₁ и m₂, соединенных жестким «невесомым» стержнем. На этом стержне имеется такая замечательная точка Z, что если подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии – ни один из шариков не  перетянет. Эта точка Z и есть центр масс двух рассматриваемых материальных точек с массами m₁ и m₂. Такая же картина наблюдается и для большего числа материальных точек. Представим себе, что в некоторой области пространства (например, внутри некоторого куба) находятся n массивных шариков с массами m1,m2,…, mn. Размеры шариков предполагаем малыми (по сравнению с наименьшим из расстояний между ними). Иначе говоря. Речь идет об n материальных точках            

m₁A₁, m₂A₂, . . . , m_nA_n(1)

Будем полагать, что вся рассматриваемая область заполнена веществом пренебрежительно малой массы по сравнению с массой каждого шарика (пенопласт); мы полагаем, что этот пенопласт не гнется, не сжимается, не растягивается. Материальные точки (1) «сидят» в нем неподвижно, как изюминка в застывшем тесте. Можно представить себе картину и иначе: рассматриваемые шарики соединены «невесомыми» стержнями в одну жесткую систему.

Если выбрать произвольную точку одного из соединяющих стержней и подвесить всю систему на ниточке, закрепленной в этой точке, то рассматриваемая система, вообще говоря, не окажется в состоянии равновесия, одна часть «перетянет».

Есть такая замечательная точка Z , что если мы подвесим всю систему на вертикальной ниточке, прикрепленной в точке Z (считая, что один из стержней проходит через эту точку (см. приложение 1), а за тем как угодно повернем систему вокруг точки Z, успокоим и отпустим, то она останется в равновесии. Такую точку Z называют центром масс системы материальных точек.

  

При  применении этого понятия к решению геометрических задач  используются следующие, имеющие простой механический смысл свойства центра масс:

 

1. 1. Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение (см. приложение 2) определяется архимедовым правилом рычага : произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих точек, т.е. m₁d₁=m₂d₂, где m₁, m₂ массы материальных точек, а d₁, d₂ соответствующие плечи, т. - е. расстояние от материальных точек до центра масс.
2. 2. Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.
3. Несмотря на простоту этих фактов, они, тем не менее, представляют собой мощное средство доказательства теорем и решения геометрических задач.

 

На основе этих свойств, мы решили  задачу 1 (см. приложение 3):

Три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение.

Пусть ABC -  данный треугольник; АА₁, ВВ₁, СС₁ – его медианы. Загрузим вершины равными массами, - скажем, по 1 грамму.                                  Получающаяся система трех материальных точек 1А, 1В, 1С имеет однозначно определенный центр масс Z (свойство 1). Положение центра масс не изменится, если массы материальных точек 1В и 1С мы перенесём в их центр масс, т.е (согласно свойству 2) в А₁. Но тогда Z окажется центром масс лишь двух материальных точек 2А₁ и 1А. Значит,

 Z €[АА₁]. Аналогично можно убедиться, что Z €[ВВ₁] и Z€[СС₁]. Таким образом, все три медианы имеют общую точку Z. Кроме того, по правилу рычага (свойство 2) имеем:

                       2‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌‌│ZA ₁│=1│ZA│, или │ZA│:│ZA₁│=2:1

 

Математическое определение центра масс

Под материальной точкой понимают точку, снабженную массой. В связи с этим будем указывать только числовые значения той или иной физической величины, но не будем отмечать её наименования, считая, что оно само собой подразумевается. Например, выражение: «В ∆АВС сторона ВС равна а, а в вершине А мы помещаем массу а» означает: «Длина стороны ВС равна а сантиметрам, а масса, помещенная в вершине А, равна а граммам».

Если в точке А помещена масса m, то образующуюся таким образом материальную точку будем обозначать так: (А, m). Иногда, когда это не может вызвать недоразумений, мы  будем её обозначать одной буквой  А. Массу m иногда, называют «нагрузкой точки А».

Из определения следует: если прямая проходит через центр тяжести двух материальных точек и через одну из них, то она пройдет и через другую.

Вместо фразы: «Центром тяжести двух материальных точек (А, а) и (В, b) служит точка С» мы иногда будем употреблять более компактную символическую запись:

Z [(A, a), (B, b)] ≡C.

 

Центр тяжести трех материальных точек находится следующим образом: находят  объединение двух из этих материальных точек и затем ищут центр тяжести образовавшейся таким образом четвертой материальной точки и третьей из данных материальных точек. Аналогично находится центр тяжести четырех, пяти и т. д. материальных точек.

Вообще, центр тяжести n материальных точек при n >2 находится так: надо сначала найти центр тяжести n-1 материальных точек, поместить в этой точке массы всех n-1 точек, а затем найти центр тяжести этой вновь образовавшейся материальной точки с n-й материальной точкой.

Если поместить в центре тяжести нескольких  материальных точек массы всех этих точек, то образующуюся таким образом новую материальную точку назовем объединением данных материальных точек.

Для решения задач важны следующие простейшие свойства центров тяжести.

1. 1. Положение центра тяжести n материальных точек зависит от порядка, в котором последовательно объединяются эти точки. 

2. Положение центра тяжести системы из n материальных точек не изменится, если заменить несколько материальных точек их объединением.  

Центры тяжести однородных нитей и пластинок

Выясним, что понимается под центром тяжести линии (нити).

Пусть имеем какую-нибудь линию АВ длины ℓ  (см. приложение 4) . Мы её будем представлять себе наглядно в виде тонкой однородной проволоки. Это значит, что любые два отрезка этой проволоки одинаковой длины имеют одну и ту же массу.

Массу куска проволоки длиной в 1 единицу мы обозначим через δ. Эту величину называют линейной плотностью нити. Понятно, что масса всей нити равна ℓδ.

В одном случае очень легко указать центр тяжести линии, а именно: когда линия представляет собой прямолинейный отрезок. Цент тяжести отрезка – это его середина. Это утверждение можно рассматривать как определение центра тяжести отрезка.

Пусть теперь линия является ломаной . Пусть она состоит из n звеньев АA₁, A₁A₂, . . . , A_n-1В, длины которых равны соответственно ℓ₁, ℓ₂, . . . , ℓ_n, так что длина ℓ всей ломаной равна ℓ₁+ℓ₂+ . . . +ℓ_n.

Если линейная плотность линии равна δ, то массы звеньев равны соответственно ℓ₁δ, ℓ₂δ, . . . , ℓ_nδ.

Сосредоточим мысленно массу первого звена (звена АА₁) в его середине В₁, массу второго звена – в его середине В₂ и т. д. Массу n-го звена будем считать сосредоточенной в его середине В_n. Таким образом,

получаются n материальных точек: (В₁, ℓ₁δ), (В₂, ℓ₂δ), . . . , (В_n, ℓ_nδ). Пусть Z- их центр тяжести. Тогда мы точку Z назовем также центром тяжести ломаной  АА₁А₂ . . . А_n-₁В.

  Таким образом, центром тяжести ломаной мы называем центр тяжести системы материальных точек, которые образуются, если сосредоточить массу каждого звена ломаной в его центре тяжести.

Задача 2. Найдите центр тяжести контура треугольника (см. приложение 5).

Решение. Представим, что контур треугольника АВС  изготовлен из однородной проволоки с линейной плотностью δ.

Массы сторон равны  δа, δb, δс, где а = ВС,  b = СА, с = АВ.

Сосредоточим массу каждой стороны треугольника в её середине. Тогда образуется система из трёх материальных точек (А₁, δа), (В₁, δb), (С₁, δс).

Центром тяжести первых двух из них служит точка С₂, определяемая, по правилу рычага, из условия

                                             δа∙ С₂ А₁ = δb∙ С₂ В₁.

Но,                                        а = 2С₁В₁ , b = С₁А₁.

Поэтому                    δ∙2С₁В₁ ∙ С₂А₁ = δ∙2С₁ А₁ ∙ С₂ А₁,

 

Получили, что С₁С₂ – биссектриса угла С₁ треугольника А₁В₁С₁. Мы видим, что центр тяжести О контура треугольника лежит на биссектрисе С₁ С₂  треугольника А₁В₁С₁. Аналогично  можно показать, что точка О лежит и на биссектрисах А₁А_{2 ,} и В₁В₂ того же треугольника. Итак, центр тяжести контура треугольника АВС – это точка пересечения биссектрис треугольника, имеющего своими вершинами середины сторон треугольника АВС.   

Центр тяжести плоской кривой имеет простой физический смысл. Представим себе, что однородная проволока изогнута в виде кривой АВ и прикреплена к тонкому листу картона, причем лист таков, что его можно практически считать не­весомым — настолько его вес меньше веса проволоки. Тогда точка Z (центр тяжести кривой АВ) обладает таким замеча­тельным физическим свойством: если подвесить лист (с нало­женной на ней проволокой) на нити, прикрепленной к листу в точке Z, то лист будет в безразличном равновесии.

 

Перейдем теперь к рассмотрению центров тяжести пла­стинок. Пусть имеется некоторая плоская фигура с пло­щадью S. Будем наглядно представлять эту фигуру в виде однородной пластинки.

Это означает, что любые два куска пластинки, имеющие равные площади, имеют также равные массы. Обозначим массу куска пластинки с площадью в 1 квадратную единицу через  δ. 

Тогда масса   всей   пластинки   равна   S. Что мы будем понимать под центром тяжести такой пластинки?

     Пластинка представляет собой прямоугольник. Ее цен­тром тяжести служит точка пересечения диагоналей прямо­угольника (см.приложение 6). Это утверждение можно рассматривать как определение центра тяжести прямоугольника.

Центр тяжести пластинки обладает простым механическим свойством: если привязать нить к пластинке в точке Z. и под­весить пластинку на этой нити, то пластинка будет в безраз­личном равновесии.

Отметим без доказательства некоторые важные свойства центров тяжести однородных пластинок, которыми будем поль­зоваться при решении задач.

1. Каждая   пластинка имеет лишь один    центр тяжести.

2. Если разделить мысленно пластинку на несколько кусков и массу каждого куска сосредоточить в его центре тяжести, то центром тяжести образовавшихся таким образом материаль­ных точек и будет центр тяжести всей пластинки.

3. Если (однородная) пластинка имеет ось симметрии, то центр тяжести пластинки лежит на этой оси.

Заметим, что аналогичными свойствами обладают также центры тяжести линий (нитей).

Центром тяжести многоугольника мы подразумеваем центр тяжести однородной пластинки, имеющей форму такого многоугольника. Под центром тяжести вершин n-угольника подразумевается центр тяжести n материальных точек, которые образуются, если поместить во всех вершинах n-угольника равные массы.

 

Самостоятельно решенные задачи 

№1. (см. приложение 7)

Из однородного листа жести вырезан многоугольник («буква Г»). Как можно, располагая только линейкой (и карандашом), построить его центр тяжести?

Решение. «Букву Г» можно разбить на два параллелограмма . Центр тяжести «буквы Г» будет  лежать на прямой, соединяющей центры этих параллелограммов. Но «букву Г» можно и другим способом разбить на два параллелограмма, и мы находим другую прямую, на которой лежит ее центр тяжести. Искомый центр тяжести – точка Z,точка пересечения этих прямых.

 

 №2.   (см. приложение 8)

В трапеции АВСD проведена средняя линия. Как можно, располагая только линейкой (и карандашом), найти центр тяжести трапеции?  

Решение.  Пусть EF – средняя линия трапеции АВСD. Проведем диагональ АС и пусть К≡EF∩AC. Центром тяжести треугольника ACD служит точка Р пересечения его медиан СЕ и DК. Центр тяжести треугольника АВС – это точка Q пересечения его медиан AF и ВК. Поэтому центр тяжести всей трапеции Z лежит на прямой PQ. Разбив трапеции на два треугольника другой диагональю BD, найдем аналогично другую прямую RT, на которой лежит центр тяжести трапеции. 

Следовательно, он может быть построен как точка пересечения прямых PQ и RT.

 

№ 3.  

На стороне ВС треугольника АВС взята такая точка D, что │BD│:│DC│=5:1  . В каком отношении медиана СЕ делит отрезок AD?

Решение.  Для точек В(1) и С(5) – D(6) центр масс., а для В(1) и А(1) – Е(2) центр масс. Пусть для точек А(1) ,В(1), С(5) – Z центр масс. Тогда

Z€АD, Z€ЕС и Z=AD∩ ЕС=Х, следовательно АХ:ХD=6:1.

 

№4.  

На сторонах шестиугольника последовательно отмечены их середины В₁, В₂ , В₃, В₄ , В₅, В₆ (рис. 8). Будет ли точка М₁ – пересечение медиан треугольника В₁В₃В₅, совпадать с точкой М₂ - пересечение медиан треугольника В₂В₄В₆?

Решение. Пусть А₁А₂А₃А₄ А₅А₆ данный шестиугольник. Загрузим вершины шестиугольника такими массами, чтобы точка Z была центром масс.

Для

А₁(1) и А₂(1) - В₁(2) центр масс,

А₂(1) и А₃(1) – В₂(2) центр масс,

А₃(1) и А₄(1) – В₃(2) центр масс,

А₄(1) и А₅(1) – В₄(2) центр масс,

А₅(1) и А₆(1) – В₅(2) центр масс,

А₅(1) и А₁(1) – В₆(2) центр масс.

Тогда Z – центр масс точек А₁, А₂, А₃, А₄ , А₅, А₆ и

6Z= А₁+А₂+А₃+А₄ +А₅+А₆,

6Z=2 В₁+2В₃+2В₅ =6М₁,

6Z=2В₂+2В₄ +2В₆ =6М₂.

Из этого следует, что М₁=М₂.

 

Надеемся, что наша работа привлечет к себе внимание и дру­гих лиц, интересующихся математикой и механикой. В нашей копилки около 20 решенных нами задач. В дальнейшем мы планируем изучать и решать задачи по химии (задачи на смеси) с помощью центра тяжести